Question

（1）把兩個含有45°角的直角三角板如圖1放置，點D在BC上，連接BE，AD，AD的延長線交BE于點F．求證：AF⊥BE．
（2）把兩個含有30°角的直角三角板如圖2放置，點D在BC上，連接BE，AD，AD的延長線交BE于點F．問AF與BE是否垂直？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）圖1，圖2是兩組不同類別的直角三角形，圖1可考慮證明△ACD≌△BCE，利用對應角相等推出互余關系，證明垂直．
（2）圖2可考慮證明相似三角形，同樣有對應角相等，利用相等角推出互余關系，證明垂直．

解答：（1）證明：在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠DCA=∠ECB=90°，DC=EC
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠DAC=∠EBC
∵∠ADC=∠BDF
∴∠EBC+∠BDF=∠DAC+∠ADC=90°
∴∠BFD=90°
∴AF⊥BE．

（2）解：AF⊥BE．理由如下：
∵∠ABC=∠DEC=30°，∠ACB=∠DCE=90°
∴

BC

AC

=

EC

DC

=tan60°
∴

BC

EC

=

AC

DC

，
∴△DCA∽△ECB
∴∠DAC=∠EBC
∵∠ADC=∠BDF
∴∠EBC+∠BDF=∠DAC+∠ADC=90°
∴∠BFD=90°
∴AF⊥BE．

點評：運用全等三角形，相似三角形同樣都可以得出角相等的條件，互余關系是證明垂線的重要途徑．