Question

如圖所示．以O為圓心，半徑為2的圓與反比例函數y=

k

x

（x＞O）的圖象交于A、B兩點，若

AB

的長度為

1

3

π，則k的值是

3

．

Answer 1

分析：連接OA、OB，由弧長公式求出∠AOB的度數，過點A作AC⊥x軸，過點B作BD⊥y軸，由于點AB均在反比例函數y=

k

x

的圖象上，所以BD×OD=AC×OC=k，再由OB=OA可知，BD=AC，OD=OC，故△AOC≌△BOD，由此可求出∠AOC的度數，再設A（a，b），根據銳角三角函數的定義即可求出a、b的值．

解答：解：連接OA、OB，
∵

AB

的長度為

1

3

π，OA=OB=2，
∴

nπ×2

180

=

1

3

π，解得n=30°，即∠AOB=30°，
過點A作AC⊥x軸，過點B作BD⊥y軸，
∵點AB均在反比例函數y=

k

x

的圖象上，
∴BD×OD=AC×OC=k，
∵OB=OA，
∴BD=AC，OD=OC，
∴△AOC≌△BOD，
∴∠AOC=

90°-∠AOB

2

=

90°-30°

2

=30°，
設A（a，b），則OC=OA•cos30°=2×

3

2

=

3

，AC=b=OA×sin30°=2×

1

2

=1，
∴k=ab=

3

×1=

3

．
故答案為：

3

．

點評：本題考查的是反比例函數綜合題，根據題意作出輔助線構造出直角三角形，再根據反比例函數系數k的幾何意義進行解答即可．