Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y= x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（2，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）直線y=﹣x+n與該拋物線在第四象限內交于點D，與線段BC交于點E，與x軸交于點F，且BE=4EC．
①求n的值；
②連接AC，CD，線段AC與線段DF交于點G，△AGF與△CGD是否全等？請說明理由；
（3）直線y=m（m＞0）與該拋物線的交點為M，N（點M在點N的左側），點 M關于y軸的對稱點為點M'，點H的坐標為（1，0）．若四邊形OM'NH的面積為 ．求點H到OM'的距離d的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y= x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（2，0）兩點，

∴ ，解得 ，

∴該拋物線的解析式y= x2﹣ x﹣3；

（2）

解：①如圖，過點E作EE'⊥x軸于E'，則EE'∥OC，

∴ = ，

∵BE=4EC，

∴BE'=4OE'，

設點E的坐標為（x，y），則OE'=x，BE'=4x，

∵B（2，0），

∴OB=2，即x+4x=2，

∴x= ，

∵拋物線y= x2﹣ x﹣3與y軸交于點C，

∴C（0，﹣3），

設直線BC的解析式為y=kx+b'，

∵B（2，0），C（0，﹣3），

∴ ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y= x﹣3，

當x= 時，y=﹣ ，

∴E（ ，﹣ ），

把E的坐標代入直線y=﹣x+n，可得﹣ +n=﹣ ，

解得n=﹣2；

②△AGF與△CGD全等．理由如下：

∵直線EF的解析式為y=﹣x﹣2，

∴當y=0時，x=﹣2，

∴F（﹣2，0），OF=2，

∵A（﹣1，0），

∴OA=1，

∴AF=2﹣1=1，

由 解得 ， ，

∵點D在第四象限，

∴點D的坐標為（1，﹣3），

∵點C的坐標為（0，﹣3），

∴CD∥x軸，CD=1，

∴∠AFG=∠CDG，∠FAG=∠DCG，

∴△AGF≌△CGD；

（3）

解：∵拋物線的對稱軸為x=﹣ = ，直線y=m（m＞0）與該拋物線的交點為M，N，

∴點M、N關于直線x= 對稱，

設N（t，m），則M（1﹣t，m），

∵點 M關于y軸的對稱點為點M'，

∴M'（t﹣1，m），

∴點M'在直線y=m上，

∴M'N∥x軸，

∴M'N=t﹣（t﹣1）=1，

∵H（1，0），

∴OH=1=M'N，

∴四邊形OM'NH是平行四邊形，

設直線y=m與y軸交于點P，

∵四邊形OM'NH的面積為 ，

∴OH×OP=1×m= ，即m= ，

∴OP= ，

當 x2﹣ x﹣3= 時，解得x1=﹣ ，x2= ，

∴點M的坐標為（﹣ ， ），

∴M'（ ， ），即PM'= ，

∴Rt△OPM'中，OM'= = ，

∵四邊形OM'NH的面積為 ，

∴OM'×d= ，

∴d= ．

【解析】（1）根據拋物線y= x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（2，0）兩點，可得拋物線的解析式；（2）①過點E作EE'⊥x軸于E'，則EE'∥OC，根據平行線分線段成比例定理，可得BE'=4OE'，設點E的坐標為（x，y），則OE'=x，BE'=4x，根據OB=2，可得x= ，再根據直線BC的解析式為y= x﹣3，即可得到E（ ，﹣ ），把E的坐標代入直線y=﹣x+n，可得n的值；②根據F（﹣2，0），A（﹣1，0），可得AF=1，再根據點D的坐標為（1，﹣3），點C的坐標為（0，﹣3），可得CD∥x軸，CD=1，再根據∠AFG=∠CDG，∠FAG=∠DCG，即可判定△AGF≌△CGD；（3）根據軸對稱的性質得出OH=1=M'N，進而判定四邊形OM'NH是平行四邊形，再根據四邊形OM'NH的面積為 ，求得OP= ，再根據點M的坐標為（﹣ ， ），得到PM'= ，Rt△OPM'中，運用勾股定理可得OM'= ，最后根據OM'×d= ，即可得到d= ．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．