Question

已知一個直角三角形AOB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．將該紙片放置在平面直角坐標系中，折疊該紙片，折痕與邊OB交于點C，與邊AB交于點D．

（1）如圖1，若折疊后使點B與點O重合，則點D的坐標為______；
（2）如圖2，若折疊后使點B與點A重合，求點C的坐標；
（3）如圖3，若折疊后點B落在邊OA上的點為B′，設OB′=x，OC=y，試寫出y關于x的函數解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由CD為△OAB的中位線，可求D點坐標；
（2）設OC=m，由折疊的性質可知，△ACD≌△BCD，則BC=AC=4-m，OA=2，在Rt△AOC中，利用勾股定理求m的值；
（3）由折疊的性質可知，△B′CD≌△BCD，依題意設OB′=x，OC=y，則B′C=BC=OB-OC=4-y，在Rt△B′OC中，由勾股定理，建立y與 x之間的函數關系式．
解答：解：（1）由折疊的性質 可知，BC=OC，CD⊥OB，
則CD為△OAB的中位線，所以D（1，2），
故答案為：（1，2）；

（2）如圖2，折疊后點B與點A重合，則△ACD≌△BCD，
設C點坐標為（0，m）（m＞0），則BC=OB-OC=4-m，于是AC=BC=4-m，
在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC²=OC²+OA²，即（4-m）²=m²+2²，
解得m=，所以C（0，）；

（3）如圖3，折疊后點BB落在邊OA上的點為B′，則△B′CD≌△BCD，
依題意設OB′=x，OC=y，則B′C=BC=OB-OC=4-y，
在Rt△B′OC中，由勾股定理，得B′C²=OC²+OB′²，即（4-y）²=y²+x²，即y=-x²+2，
由點B′在邊OA上，有0≤x≤2，
所以，函數解析式為y=-x²+2（0≤x≤2）．
點評：本題考查了一次函數的綜合運用．關鍵是由折疊的性質得出全等三角形，在直角三角形中，利用勾股定理建立等式，解方程或得出函數關系式．