Question

（2005•廣州）如圖，在直徑為6的半圓上有兩動點M、N，弦AM、BN相交于點P，則AP•AM+BP•BN的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：連接AN、BM，根據圓周角定理，由AB是直徑，可證∠AMB=90°，由勾股定理知，BP²=MP²+BM²，由相交弦定理知，AP•PM=BP•PN，原式=AP（AP+PM）+BP（BP+PN）=AP²+AP•PM+BP²+BP•PN=AP²+BP²+2AP•PM=AP²+MP²+BM²+2AP•PM=AP²+（AP+PM）²=AP²+AM²=AB²=36．
解答：解：連接AN、BM，
∵AB是直徑，
∴∠AMB=90°．
∴BP²=MP²+BM²
∵AP•PM=BP•PN
原式=AP（AP+PM）+BP（BP+PN）=AP²+AP•PM+BP²+BP•PN
=AP²+BP²+2AP•PM
=AP²+MP²+BM²+2AP•PM
=BM²+（AP+PM）²=BM²+AM²=AB²=36．
點評：本題利用了圓周角定理和相交弦定理，勾股定理求解．