Question

如圖⊙O的半徑為1cm，弦AB、CD的長度分別為

2

cm，1cm，則弦AC、BD所夾的銳角α為（　　）

A．75°

B．45°

C．60°

D．30°

Answer 1

分析：根據勾股定理的逆定理可證△AOB是等腰直角三角形，故可求∠OAB=∠OBA=45°，又由已知可證△COD是等邊三角形，所以∠ODC=∠OCD=60°，根據圓周角的性質可證∠CDB=∠CAB，而∠ODB=∠OBD，所以∠CAB+∠OBD=∠CDB+∠ODB=∠ODC=60°，再根據三角形的內角和定理可求α．

解答：解：連接OA、OB、OC、OD，
∵OA=OB=OC=OD=1，AB=

2

，CD=1，
∴OA²+OB²=AB²，
∴△AOB是等腰直角三角形，
△COD是等邊三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45°，∠ODC=∠OCD=60°，
∵∠CDB=∠CAB，∠ODB=∠OBD，
∴α=180°-∠CAB-∠OBA-∠OBD=180°-∠OBA-（∠CDB+∠ODB）=180°-45°-60°=75°．
故選：A．

點評：本題考查了勾股定理的逆定理，圓周角的性質，等邊三角形的性質以及三角形的內角和定理．