Question

如圖1，△ABC與△EFA為等腰直角三角形，AC與AE重合，AB=EF=9，∠BAC=∠AEF=90°，固定△ABC，將△EFA繞點A順時針旋轉，當AF邊與AB邊重合時，旋轉中止．不考慮旋轉開始和結束時重合的情況，設AE、AF（或它們的延長線）分別交BC（或它的延長線）于G、H點，如圖2．

（1）問：在圖2中，始終與△AGC相似的三角形有

△HGA

及

△HAB

；
（2）設CG=x，BH=y，GH=z，求：
①y關于x的函數關系式；
②z關于x的函數關系式；（只要求根據第（1）問的結論說明理由）
（3）直接寫出：當x為何值時，AG=AH．

Answer 1

分析：（1）△HGA，△HAB，求出∠H=∠GAC，∠AGC=∠AGC，即可推出△AGC∽△HGA；根據∠B=∠ACG=45°，∠GAC=∠H推出△AGC∽△HAB即可；
（2）①根據∵△AGC∽△HAB，得出

AC

HB

=

GC

AB

，求出y=

81

x

；②在Rt△BAC中，由勾股定理求出BC=9

2

，代入GH=BH-（BC-GC）求出即可；
（3）由△HGA∽△HAB得出HB=AB=9，由△HGA∽△GCA得出AC=CG=9，推出BG=HC，即可得出答案．

解答：解：（1）△HGA，△HAB，
理由是：∵△ABC與△EFA為等腰直角三角形，AC與AE重合，AB=EF，∠BAC=∠AEF=90°，
∴∠B=∠ACB=∠GAF=45°，
∴∠ACB=∠H+∠HAC=45°，∠GAC+∠HAC=∠GAF=45°，
∴∠H=∠GAC，
∵∠AGC=∠AGC，
∴△AGC∽△HGA；
∵∠B=∠ACG=45°，∠GAC=∠H，
∴△AGC∽△HAB；

（2）①如圖2，∵△AGC∽△HAB，
∴

AC

HB

=

GC

AB

，
∴

9

y

=

x

9

，
∴y=

81

x

；
②在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AC=AB=9，由勾股定理得：BC=9

2

，
∴GH=BH-（BC-GC）=y-（9

2

-x），
∴z=

81

x

+x-9

2

；

（3）∵∠GAH=45°是等腰三角形的頂角，
如圖，∵由△HGA∽△HAB知：HB=AB=9，
由△HGA∽△GCA可知：AC=CG=9，
∴BG=HC，
∴CG=x=9，
即當x=9時，AG=AH．
故答案為：△HGA，△HAB．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，等腰三角形性質，勾股定理，等腰直角三角形的應用，主要考查學生綜合運用性質進行計算的能力，有一定的難度．