Question

當x=20時，一個關(guān)于x的二次三項式的值等于694，若該二次三項式的各項系數(shù)及常數(shù)項都是絕對值小于10的整數(shù)，求滿足條件的所有二次三項式．

Answer 1

解：設滿足條件的二次三項式為ax²+bx+c（a、b、c都是常數(shù)，且abc≠0）．
∵x=20，ax²+bx+c=694，
∴400a+20b+c=694． ①
∴400a=694-（20b+c）．
∵-10＜b＜10，-10＜c＜10，
∴-210＜20b+c＜210，
∴484＜400a＜904，
∴1.21＜a＜2.26．
又∵a是整數(shù)，
∴a=2．
將a=2代入①，得20b+c=-106． ②
于是，20b=-106-c，
又-10＜c＜10，
∴-116＜20b＜-96，
∴-5.8＜b＜-4.8，
又∵b為整數(shù)，
∴b=-5．
將b=-5代入②，得c=-6．
將x=20代入2x²-5x-6，得其值為694．
∴滿足條件的二次三項式只有2x²-5x-6．
分析：設滿足條件的二次三項式為ax²+bx+c（a、b、c都是常數(shù)，且abc≠0），先把x=20代入，得400a+20b+c=694，將其變形，得出400a=694-（20b-c）．再根據(jù)二次三項式的各項系數(shù)及常數(shù)項都是絕對值小于10的整數(shù)，運用不等式的性質(zhì)，分別求出a、b、c的值，從而得出結(jié)果．
點評：本題利用不等式的性質(zhì)考查了一元一次不等式組的解法及多項式的有關(guān)內(nèi)容．難度較大，屬于競賽題型．