Question

正方形ABCD中，點E、F分別在AB和BC上，且DE⊥EF，
（1）求證：△ADE∽△EBF；
（2）△DEF和△DEC相似嗎？若相似，請給出證明，若不相似，請舉一個反例說明．

Answer 1

【答案】分析：（1）可根據余角的性質得到∠ADE=∠BEF，已知一組直角相等，則可根據有兩組角對應相等的三角形相似來判定：△ADE∽△EBF；
（2）連接CE，假設△DEF∽△DEC，由于△DEF中有一個直角，則說明△DEC中有一個角等于90°，而根據圖形可知△DEC中的三個角都小于90°，故假設錯誤，兩三角形不相似．
解答：證明：（1）∵正方形ABCD中，點E、F分別在AB和BC上，且DE⊥EF，
∴∠ADE+∠AED=90°，∠BEF+∠AED=90°，∠A=∠B=90°，
∴∠ADE=∠BEF，
∴△ADE∽△EBF；

（2）不相似，連接CE，先假設△DEF∽△DEC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
又∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90°，
又∵△DEF∽△DEC，
∴△DEC中必有一個直角，
又∵∠EDC、∠DCE、∠DEC＜90°，
∴假設錯誤，△DEF和△DEC不相似．
點評：本題利用了正方形的性質、等角的余角相等、相似三角形的判定及性質．