Question

【題目】如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作BC的平行線(xiàn)交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，且AF=BD，連接BF．

（1）BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)△ABC滿(mǎn)足什么條件時(shí)，四邊形AFBD是矩形？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）BD=CD。理由如下：

∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE。

∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE=DE。

∵在△AEF和△DEC中，∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE，

∴△AEF≌△DEC（AAS）。∴AF=CD。

∵AF=BD，∴BD=CD。

（2）當(dāng)△ABC滿(mǎn)足：AB=AC時(shí)，四邊形AFBD是矩形。理由如下：

∵AF∥BD，AF=BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形。

∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90°。

∴AFBD是矩形。

【解析】

試題（1）根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角邊”證明△AEF和△DEC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF=CD，再利用等量代換即可得證；

（2）先利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據(jù)一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)可知必須是AB=AC．

試題解析：（1）BD=CD．

理由如下：依題意得AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE，

∵E是AD的中點(diǎn)，

∴AE=DE，

在△AEF和△DEC中，

，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF=CD，

∵AF=BD，

∴BD=CD；

（2）當(dāng)△ABC滿(mǎn)足：AB=AC時(shí)，四邊形AFBD是矩形．

理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，

∴四邊形AFBD是平行四邊形，

∵AB=AC，BD=CD（三線(xiàn)合一），

∴∠ADB=90°，

∴AFBD是矩形．