Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y1＝ax（x﹣2）與x軸交于O、A兩點，頂點為M，對稱軸BM交拋物線于點B，交x軸于點C，連接OB、AB、OM、AM，已知0＜a＜4，四邊形OMAB的面積為S．

特例探究：填表：

歸納證明：

當a＝2時，證明四邊形OMAB是菱形；

拓展應用

（1）將拋物線y1＝ax（x﹣2）改為拋物線y3＝ax（x﹣2m）（m＞0），其他條件不變，當四邊形OMAB為正方形時，a＝　 　，m＝　 　．

（2）將拋物線y1＝ax（x﹣2）改為拋物線y3＝ax（x﹣2m）（m＞0），其他條件不變，S＝　 　（用含m的代數式表示）．

Answer 1

【答案】特例探究：4，4，4；歸納證明：答案見解析；拓展應用：（1）2，；（2）4m3．

【解析】

特例探究：根據題意可得點A的坐標，分別求得當a的值分別取1，2，3時，B與M的坐標，即可求得答案；

歸納證明：由拋物線y=ax（x-2）（0＜a＜4）與x軸交于O，A兩點，可求得點A的坐標，求得對稱軸，則可求得點M與點B的坐標，即可證得結論；

拓展應用

（1）由拋物線y=ax（x-2m）（0＜a＜4）與x軸交于O，A兩點，首先可求得點A的坐標，再求得對稱軸，則可求得點M與點B的坐標，由四邊形OMAB為正方形，可得方程組，從而求得答案；

（2）結合歸納證明與（1），即可求得答案．

特例探究：當y1＝0時，ax（x﹣2）＝0，解得：x1＝0，x2＝2，∴點A的坐標為（2，0），∴拋物線y1＝ax（x﹣2）的對稱軸為直線x＝1．

當x＝1時，y1＝ax（x﹣2）＝﹣a，∴點M的坐標為（1，﹣a），

當x＝1時，y2＝（4﹣a）x2＝4﹣a，∴點B的坐標為（1，4﹣a），

∴OA＝2，BM＝4﹣a﹣（﹣a）＝4，∴S＝S△OAB+S△OAM＝OABM＝×2×4＝4．

故答案為：4；4；4．

歸納證明：當a＝2時，點M的坐標為（1，﹣2），點B的坐標為（1，2），∴BC＝CM．

∵點A的坐標為（2，0），拋物線y1＝ax（x﹣2）的對稱軸為直線x＝1．∴OC＝AC.

∴四邊形OMAB是平行四邊形

∵BM⊥OA，∴當a＝2時，四邊形OMAB是菱形；

拓展應用：（1）當y3＝0時，ax（x﹣2m）＝0，解得：x1＝0，x2＝2m，∴點A的坐標為（2m，0），∴拋物線y3＝ax（x﹣2m）的對稱軸為直線x＝m．

當x＝m時，y3＝ax（x﹣2m）＝﹣am2，∴點M的坐標為（m，﹣am2），

當x＝m時，y2＝（4﹣a）x2＝（4﹣a）m2，∴點B的坐標為（m，（4﹣a）m2）．

∵四邊形OMAB為正方形，∴BC＝CM＝OC，即，

解得：a＝2，m＝．

故答案為：2；．

（2）由（1）可知：OA＝2m，BM＝（4﹣a）m2﹣（﹣am2）＝4m2，∴S＝S△OAB+S△OAM＝OABM＝×2m×4m2＝4m3．

故答案為：4m3．