Question

如圖，在⊙O中，弦CD垂直于直徑AB．M是OC的中點，AM的延長線交⊙O于E，DE交BC于N．求證：BN=CN．

Answer 1

分析：連接AC和BD，根據垂徑定理得BC=BD，再由已知條件可以證得△BCD∽△OCA，則

CB

CO

=

CD

CA

，還可以證明△CDN∽△CAM．有相似三角形的性質，證出BN=CN．

解答：證明：連接AC和BD．
∵弦CD垂直于直徑AB，
∴BC=BD．（5分）
∴∠BCD=∠BDC．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵∠BDC=∠OAC，
∴∠BCD=∠OCA．
∴△BCD∽△OCA．
∴

CB

CO

=

CD

CA

（15分）
在△CDN和△CAM中，
∵∠DCN=∠ACM，∠CDN=∠CAM，
∴△CDN∽△CAM．（20分）
∵

CN

CM

=

CD

CA

=

CB

CO

=

CB

2CM

，
∴CN=

1

2

CB，即BN=CN．（25分）

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、垂徑定理，解答這類題一些學生不會綜合運用所學知識解答問題，不知從何處入手造成錯解．