Question

【題目】以四邊形的邊為斜邊分別向外側作等腰直角三角形，直角頂點分別為順次連接這四個點，得四邊形．

（1）如（圖1）．當四邊形為正方形時，我們發現四邊形是正方形；如（圖2），當四邊形為矩形時，請判斷：四邊形的形狀(不要求證明)；

（2）如（圖3），當四邊形為一般平行四邊形時 ，設

①試用含的代數式表示；

②求證：四邊形是正方形，

Answer 1

【答案】（1）四邊形的形狀是正方形；（2）①；②見解析

【解析】

（1）根據△AHD和△DGC是等腰直角三角形，得出∠EHG＝90°，從而判定四邊形EFGH是矩形，再判斷出△AEB≌△DGC，得出HE＝HG，即可推出結論，

（2）①根據平行四邊形的性質得出，∠BAD＝180°﹣α，根據△HAD和△EAB是等腰直角三角形，得到∠HAD＝∠EAB＝45°，求出∠HAE即可；

②根據△AEB和△DGC是等腰直角三角形，得出AE＝AB，DG＝CD，平行四邊形的性質得出AB＝CD，求出∠HDG＝90°+∠ADC＝∠HAE，根據SAS證△HAE≌△HDG，根據全等三角形的性質即可得出HE＝HG；證明過程類似求出GH＝GF，FG＝FE，推出GH＝GF＝EF＝HE，得出菱形EFGH，證△HAE≌△HDG，求出∠AHD＝90°，∠EHG＝90°，即可推出結論．

解: 證明：（1）四邊形EFGH是正方形；

理由：∵△AHD是等腰直角三角形，

∴∠HDA＝∠HAD＝45°，

∴∠EHG＝90°，

同理：∠HEF＝∠EFG＝90°，

∴四邊形EFGH是矩形，

∵△AHD是等腰直角三角形，

∴HA＝HD，

在矩形ABCD中，AB＝CD，

在△AEB和△DGC中，∠EAB=∠GDC，AB=CD,∠EBA=∠GCD，

∴△AEB≌△DGC，

∴AE＝DG，

∴HE＝HG．

∴矩形EFGH是正方形．

解:①

在平行四邊形中，

和是等腰直角三角形，

答:用含的代數式表示是

②證明:和是等腰直角三角形，

在平行四邊形中，

和是等腰直角三角形，

是等腰直角三角形，

由②同理可得:

四邊形是菱形，

四邊形是正方形.