Question

【題目】 如圖1，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y＝ax2+bx+5與x軸交于A，點B，與y軸交于點C，過點C作CD⊥y軸交拋物線于點D，過點B作BE⊥x軸，交DC延長線于點E，連接BD，交y軸于點F，直線BD的解析式為y＝﹣x+2．

（1）寫出點E的坐標；拋物線的解析式．

（2）如圖2，點P在線段EB上從點E向點B以1個單位長度/秒的速度運動，同時，點Q在線段BD上從點B向點D以個單位長度/秒的速度運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，當t為何值時，△PQB為直角三角形？

（3）如圖3，過點B的直線BG交拋物線于點G，且tan∠ABG＝，點M為直線BG上方拋物線上一點，過點M作MH⊥BG，垂足為H，若HF＝MF，請直接寫出滿足條件的點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）點E坐標為（2，5），y＝﹣x2﹣+5；（2）t＝或時，△PQB為直角三角形；（3）點M坐標為（﹣4，3）或（0，5）．

【解析】

（1）由待定系數法求點坐標及函數關系式；

（2）根據題意，△DEB為等腰直角三角形，通過分類討論∠PQB=90°或∠QPB=90°的情況求出滿足條件t值；

（3）延長MF交GB于K，由∠MHK=90°，HF=MF可推得HF=FK，即F為MK中點，設出M坐標，利用中點坐標性質，表示K點坐標，代入GB解析式，可求得點M坐標．

將點D（-3，5）點B（2，0）代入y=ax2+bx+5

解得

∴拋物線解析式為：y=-x2-x+5

（2）由已知∠QBE=45°，PE=t，PB=5-t，QB=t

當∠QPB=90°時，△PQB為直角三角形．

∵∠QBE=45°

∴QB=PB

∴t＝ (5t)

解得t=

當∠PQB=90°時，△PQB為直角三角形．

△BPQ∽△BDE

∴BQBD=BPBE

∴5（5-t）=t5

解得：t=

∴t=或時，△PQB為直角三角形．

（3）由已知tan∠ABG=，且直線GB過B點

則直線GB解析式為：y=x1

延長MF交直線BG于點K

∵HF=MF

∴∠FMH=∠FHM

∵MH⊥BG時

∴∠FMH+∠MKH=90°

∠FHK+∠FHM=90°

∴∠FKH=∠FHK

∴HF=KF

∴F為MK中點

設點M坐標為（x，-x2-x+5）

∵F（0，2）

∴點K坐標為（-x，x2+x-1）

把K點坐標代入y=x1

解得x1=0，x2=-4，

把x=0代入y=-x2-x+5，解得y=5，

把x=-4代入y=-x2-x+5

解得y=3

則點M坐標為（-4，3）或（0，5）．