Question

同學們，在學習了軸對稱變換后我們經常會遇到三角形中的“折疊”問題．我們通常會考慮到折疊前與折疊后的圖形全等，并利用全等的性質，即對應角相等，對應邊相等來研究解決數學中的“折疊”問題．
（1）如圖①，把△ABC紙片沿DE折疊，當點A落在△ABC內部時，我們不僅可以發現AE=A′E，AD=

 

，而且我們還可以通過發現∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠

 

，∠A=∠A′，從而求得∠1+∠2=2∠A．
（2）如圖②，當點A落在△ABC外部時，我們發現∠2=∠DFA+∠

 

，∠DFA=∠1+∠

 

，那么（1）中的∠1+∠2=2∠A在這里還成立嗎？如成立，請說明理由．如不成立，請寫出成立的式子并說明理由．
（3）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，將它的一個銳角翻折，使該銳角頂點落在其對邊的中點D處，折痕交另一直角邊于E，交斜邊于F，請你模仿圖①，圖②，畫出相應的示意圖并求出△CDE的周長．

Answer 1

分析：（1）根據圖形翻折變換的性質可知，AD=A’D，∠ADE=∠A’DE，由圖形翻折變換的性質可得到∠A=∠A′，再由∠2=∠DFA+∠A即可得出∠1+∠2=2∠A；
（2）由圖形翻折變換的性質可得到∠A=∠A′，再根據∠2=∠DA′A+∠DAA′即可求出答案；
（3）根據題意畫出圖形，再根據圖形翻折變換的性質即可得出結論．

解答：解：（1）AD=A’D，∠ADE=∠A’DE，（1分）

（2）∠2=∠DEA+∠A，∠DFA=∠1+∠A’（3分）
如圖②由圖形翻折變換的性質可知，∠A=∠A′，
連接AA′，
則∠2=∠DA′A+∠DAA′
=∠DA′E+∠EA′A+∠DAE+∠A′AE，
=2∠A+∠EA′A+∠A′AE
=2∠A+∠1即∠2-∠1=2∠A；

（3）當如圖③所示折疊時，
△CDE的周長=CD+CE+DE
=CD+CE+EB
=CD+CB
=

1

2

AC+CB
=

1

2

×6+8
=11；
當如圖④所示折疊時，
△CDE的周長=CD+CE+DE
=CD+CE+AE
=CD+AC
=

1

2

CB+AC
=

1

2

×8+6
=10．

點評：本題考查的是圖形翻折變換的性質，即圖形翻折變換后所得圖形與原圖形全等．