Question

已知：拋物線y=x²-（2m+4）x+m²-10與x軸交于A、B兩點，C是拋物線的頂點．
（1）用配方法求頂點C的坐標（用含m的代數式表示）；
（2）“若AB的長為，求拋物線的解析式．”解法的部分步驟如下，補全解題過程，并簡述步驟①的解題依據，步驟②的解題方法；
解：由（1）知，對稱軸與x軸交于點D（，0）
∵拋物線的對稱性及，
∴AD=DB=．
∵點A（x_A，0）在拋物線y=（x-h）²+k上，
∴0=（x_A-h）²+k①
∵h=x_C=x_D，將代入上式，得到關于m的方程②
（3）將（2）中的條件“AB的長為”改為“△ABC為等邊三角形”，用類似的方法求出此拋物線的解析式．

Answer 1

解：（1）∵y=x²-（2m+4）x+m²-10
=[x-（m+2）]²-4m-14，
∴頂點C的坐標為（m+2，-4m-14）．

（2）由（1）知，對稱軸與x軸交于點D（m+2，0），
∵拋物線的對稱性及AB=2，
∴AD=DB=．
∵點A（x_A，0）在拋物線y=（x-h）²+k上，
∴0=（x_A-h）²+k①
∵h=x_C=x_D，將代入上式，
得到關于m的方程0=（）²+（-4m-14）②
解得m=-3，
當m=-3時，拋物線y=x²+2x-1與x軸有交點，
且AB=2，符合題意．
所求拋物線的解析式為y=x²+2x-1．
步驟①的解題依據：拋物線上一點的坐標滿足此函數解析式；
步驟②的解題方法：代入法

（3）∵△ABC是等邊三角形，
∴由（1）知CD=|-4m-14|=4m+14（-4m-14＜0），
AD=DB=CD=（4m+14）（-4m-14＜0），
∵點A（x_A，0）在拋物線上，
∴0=（x_A-h）²+k．
∵h=x_C=x_D，將|x_A-x_D|=（4m+14）代入上式，
得0=（4m+14）²-4m-14，
∵-4m-14＜0，
∴（4m+14）-1=0，
解得m=-，
當m=-時，拋物線y=x²+-與x軸有交點，且符合題意．
所求拋物線的解析式為y=x²+-．
分析：（1）將所給的二次函數解析式配成完全平方式即可；
（2）①題中，點A在拋物線的圖象上，因此A點的坐標一定滿足此函數解析式；而②所用的顯然是代入法；
②設拋物線的對稱軸與x軸的交點為D；由于拋物線開口向上，且與x軸有交點，那么頂點C必在x軸下方，所以C點的縱坐標小于0，由此可求出m的取值范圍；根據拋物線的頂點坐標，可求出CD的長度；而△ABC是等邊三角形，那么在Rt△ACD中，CD=AD，由此可求出AD的長；設A（x_A，0），將其代入拋物線的解析式中，即可得到0=（x_A-h）²+k，此式中，h與C點橫坐標相同，因此|x_A-h|其實就是AD的長，在（1）題中，通過配方已經求得了k的值，即可得到關于m的方程，然后配成（2）②的形式，根據非負數的性質及m的取值范圍即可求出m的值，從而確定拋物線的解析式．
點評：此題主要考查了用配方法求二次函數解析式頂點坐標的方法、函數圖象上點的坐標意義、等邊三角形的性質、二次函數解析式的確定等知識，正確理解材料的解題思路是解答此題的關鍵．