Question

【題目】如圖，一次函數y=﹣x+3的圖象與反比例函數y=（k≠0）在第一象限的圖象交于A（1，a）和B兩點，與x軸交于點C．

（1）求反比例函數的解析式；

（2）若點P在x軸上，且△APC的面積為5，求點P的坐標；

（3）若點P在y軸上，是否存在點P，使△ABP是以AB為一直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（﹣2，0）或（8，0）；（3）存在，P（0，1）或 P（0，﹣1）

【解析】

（1）將點A坐標代入兩個解析式可求a的值，k的值，即可求解；

（2）設P（x，0），由三角形的面積公式可求解；

（3）分兩種情況討論，由兩點距離公式分別求出AP，AB，BP的長，由勾股定理可求解.

（1）把點A（1，a）代入y=﹣x+3，得a=2，

∴A（1，2），

把A（1，2）代入反比例函數y=，

∴k=1×2=2；

∴反比例函數的表達式為；

（2）∵一次函數y=﹣x+3的圖象與x軸交于點C，

∴C（3，0），

設P（x，0），

∴PC=|3﹣x|，

∴S△APC=|3﹣x|×2=5，

∴x=﹣2或x=8，

∴P的坐標為（﹣2，0）或（8，0）；

（3）存在，

理由如下：聯立，

解得：或，

∴B點坐標為（2，1），

∵點P在y軸上，

∴設P（0，m），

∴AB=，AP=，PB=,

若BP為斜邊，

∴BP2=AB2+AP2 ，

即 =2+，

解得：m=1，

∴P（0，1）；

若AP為斜邊，

∴AP2=PB2+AB2 ，

即 =+2，

解得：m=﹣1，

∴P（0，﹣1）；

綜上所述：P（0，1）或 P（0，﹣1）.