Question

在△ABC中，D為AB邊上一點，過點D作DE∥BC交AC于點E，以DE為折線，將△ADE翻折，設所得的△A′DE與梯形DBCE重疊部分的面積為y．
（1）如圖（甲），若∠C=90°，AB=10，BC=6，，則y的值為______；
（2）如圖（乙），若AB=AC=10，BC=12，D為AB中點，則y的值為______；
（3）若∠B=30°，AB=10，BC=12，設AD=x．
①求y與x的函數解析式；
②y是否有最大值？若有，求出y的最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題需先根據已知條件得出AC的長，再根據DE∥BC得出△ADE∽△ABC，再根據面積之比等于相似比的平方即可求出結果．
（2）本題需先根據已知條件得出BC邊上的高的值和S_△ABC的值，再根據D為AB中點和DE∥BC，即可得出△ADE∽△ABC，最后根據面積之比等于相似比的平方即可求出結果；
（3）本題需先作AH⊥BC于點H，根據已知條件得出AH和S_△ABC的值，再分兩種情況0＜x≤5時和當5＜x＜10進行討論，分別求出和的值，即可求出y的最大值．
解答：解：（1）∵∠C=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=8，
∴S_△ABC==24，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∴，
∵S_△ADE=，
∴y=；

（2）∵AB=AC=10，BC=12，
∴BC邊上的高為8，
∴S_△ABC==48，
∵D為AB的中點，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，=，
∴=，
∴=，
∴S_△ADE=12，
∴y=12；

（3）如圖，作AH⊥BC于點H，在Rt△ABH中，
∵∠B=30°，AB=10，BC=12，
∴AH=5，S_△ABC=．
當點A′落在BC上時，點D是AB的中點，即x=5．
故分以下兩種情況討論：
①當0＜x≤5時，如圖，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∴．
∴．即．
∴當x=5時，．
②當5＜x＜10時，如上圖，設DA′、EA′分別交BC于M、N．
由折疊知，△A′DE≌△ADE，
∴DA′=DA=x，∠1=∠2．
∵DE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3．
∴∠B=∠3．
∴DM=DB=10-x．
∴MA′=x-（10-x）=2x-10．
由①同理可得．又△MA′N∽△DA′E，
∴．
∴．
∴y=S_△DA'E-S_△MA'N==．
∵二次項系數，且當時，滿足5＜x＜10，
∴y_最大=10．
綜上所述，當時，y值最大，最大值是10．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有函數解析式的求法和求y的最大值，在求有關最大值問題時要注意分析題意分情況討論結果．