Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，O為邊AC上一點（不與點A，C重合），以OC為半徑的圓分別交邊BC，AC于點D，E，過點D作DF⊥AB于點F.

（1）求證：直線DF是⊙O的切線；

（2）若∠A＝45°，OC＝2，求劣弧的長.（結果保留π）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）連結OD，根據等邊對等角可得∠B＝∠ACB，∠ODC＝∠ACB，等量代換可得∠B＝∠ODC，根據同位角相等，兩直線平行可得OD∥AB，繼而可得∠ODF＝∠BFD＝90°，由切線的判定即可求證；

（2）由兩直線平行同位角相等可得：∠A＝∠COD＝45°，由平角性質可得：∠AOD＝135°,根據弧長公式即可求解．

（1）證明：連結OD，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∵OC＝OD，

∴∠ODC＝∠ACB，

∴∠B＝∠ODC，

∴OD∥AB，

∵DF⊥AB，

∴∠ODF＝∠BFD＝90°，

∵OD為半徑，

∴直線DF是⊙O的切線；

（2）解：∵∠A＝45°，OD∥AB，

∴∠COD＝∠A＝45°

∴∠AOD＝180°﹣45°＝135°，

∴的長為.