Question

已知：m、n是方程x²－6x+5＝0的兩個實數根，且m＜n，拋物線y＝－x²+bx+c的圖像經過點A(m，0)、B(0，n).

（1）求這個拋物線的解析式；

（2）設（1）中拋物線與軸的另一交點為C，拋物線的頂點為D，試求出點C、D的坐標和△BCD的面積

（3）P是線段OC上的一點，過點P作PH⊥x軸，與拋物線交于H點，若直線BC把△PCH分成面積之比為2∶3的兩部分，請求出P點的坐標.

Answer 1

（1）解方程x²－6x+5＝0得x₁＝5，x₂＝1，由m＜n，有m＝1，n＝5，所以點A、B的坐標分別為A（1，0），B（0，5）.將A（1，0），B（0，5）的坐標分別代入y＝－x²+bx+c.得解這個方程組，得所以，拋物線的解析式為y＝－x²－4x+5.

（2）由y＝－x²－4x+5，令y＝0，得－x²－4x+5＝0.解這個方程，得x₁＝－5，x₂＝1，所以C點的坐標為（－5，0）.由頂點坐標公式計算，得點D（－2，9）.過D作x軸的垂線交x軸于M.則S_△DMC＝×9×(5－2)＝，S_梯形MDBO＝×2×(9+5)＝14，S_△BOC＝×5×5＝，所以S_△BCD＝S_梯形MDBO+ S_△DMC－S_△BOC＝14+－＝15.

（3）設P點的坐標為（a，0）因為線段BC過B、C兩點，所以BC所在的直線方程為y＝x+5.那么，PH與直線BC的交點坐標為E(a，a+5)，PH與拋物線y＝－x²－4x+5的交點坐標為H(a，－a²－4a+5).由題意，得①EH＝EP，即(－a²－4a+5)－(a+5)＝(a+5). 解這個方程，得a＝－或a＝－5（舍去）；②EH＝EP，即(－a²－4a+5)－(a+5)＝(a+5). 解這個方程，得a＝－或a＝－5（舍去）；即P點的坐標為 (－，0)或 (－，0).