Question

如圖，△ACD和△AEB都是等腰直角三角形，∠EAB=∠CAD=90°，下列五個結(jié)論：①EC=BD；②EC⊥BD；③S_{四邊形EBCD}=

1

2

EC•BD；④S_△ADE=S_△ABC；⑤△EBF∽△DCF；其中正確的有（　　）

• A、①②④⑤
• B、①②③④
• C、①②③⑤
• D、①②③④⑤

Answer 1

分析：①利用邊角邊可以證明△EAC≌△BAD，得到EC=BD．②利用①的結(jié)論，有∠AEC=∠ABD，而∠FEB+∠FBE=∠AEB-∠AEC+∠ABE+
∠ABD=45°-∠AEC+45°+∠ABD=90°，所以EC⊥BD．③根據(jù)②的結(jié)論，EC⊥BD，可以得到S_{四邊形EBCD}=

1

2

EC•BD．④因為
∠EAD+∠BAC=180°，sin∠EAD=sin∠BAC，所以S_△ADE=S_△ABC．⑤因為兩個等腰直角三角形的腰不一定相等，所以∠AEC≠∠ADB，所以∠BEF≠∠CDF，∠EBF≠∠DCF，因此不能判定△EBF與△DCF相似．

解答：解：①∵AE=AB，∠EAC=∠BAD=90°+∠BAC，AC=AD，
∴△AEC≌△ABD，
∴EC=BD．故①正確．
②由①知：△AEC≌△ABD，
∴∠AEC=∠ABD，
∠FEB+∠FBE=∠AEB-∠AEC+∠ABE+∠ABD=45°-∠AEC+45°+∠ABD=90°，
∴∠EFB=90°
∴EC⊥BD．故②正確．
③由②知：EC⊥BD，
∴S_{四邊形EBCD}=S_△ECB+S_△ECD=

1

2

EC•BF+

1

2

EC•DF=

1

2

EC（BF+DF）=

1

2

EC•BD．故③正確．
④根據(jù)圖形可知：∠EAD+∠BAC=180°，
∴sin∠EAD=sin∠BAC，
S_△ADE=

1

2

AE•AD•sin∠EAD，
S_△ABC=

1

2

AB•AC•sin∠BAC，
∴S_△ADE=S_△ABC．故④正確．
⑤∵AB≠AD，∴∠ABD≠∠ADB，
而∠FEB=45°-∠AEC=45°-∠ABD，
∠FDC=45°-∠ADC，
∴∠FEB≠∠FDC，
同理，∠FBE≠∠FCD
∴不能判定△EBF與△DCF，故⑤錯誤．
故選B．

點評：本題考查的是相似三角形的判定，①利用邊角邊證明三角形全等．②利用①的結(jié)論和等腰直角三角形證明．③利用三角形的面積公式計算．④利用三角形的面積公式計算．⑤利用三角形相似的判斷定理判定．