Question

【題目】平行四邊形 ABCD 中，兩條鄰邊長分別為3和5，∠BAD與∠ABC的平分線交于點E，點F 是CD的中點，連接EF，則EF=________.

Answer 1

【答案】3.5或0.5

【解析】

分兩種情況討論：①當AB=3，BC=5時，延長AE交BC于M，由平行線的性質和角平分線的定義可推出∠BAM=∠AMB，得到AB=BM=3，求出CM=2，再證明∠AEB=90°，根據等腰三角形三線合一得到E為AM的中點，所以EF為梯形ADCM的中位線，根據中位線的性質可求EF；②當AB=5，BC=3時，延長AE交BC的延長線于M，連接DM，延長EF與DM交于G，同理可證AE=EM，CM=2，再利用三角形中位線的性質可求出EF.

分兩種情況：

①如圖1，當AB=3，BC=5時，延長AE交BC于M，

∵AD∥BC，

∴∠DAM=∠AMB

∵AM平分∠BAD，

∴∠DAM=∠BAM

∴∠BAM=∠AMB

∴AB=BM=3

∴CM=BC-BM=5-3=2

∵AD∥BC

∴∠DAB+∠ABC=180°

又∵AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，

∴∠EAB+∠EBA=∠DAB+∠ABC=90°，

∴∠AEB=90°

∴BE⊥AM，

∵BA=BM

∴AE=EM

∵DF=CF

∴EF為梯形ADCM的中位線

∴EF=

②如圖，當AB=5，BC=3時，

延長AE交BC的延長線于M，連接DM，延長EF與DM交于G，

同①可證：AE=EM，CM=BM-BC=AB-BC=2，

EG為△ADM的中位線，FG為△CDM的中位線，

∴EG=AD=1.5，FG=CM=1，

∴EF=EG-FG=0.5

綜上所述，EF的長為3.5或0.5

故答案為：3.5或0.5