Question

設a，b，c是△ABC的三條邊，關于x的方程

1

2

x²+

b

x+c-

1

2

a=0有兩個相等的實數根，方程3cx+2b=2a的根為x=0．
（1）試判斷△ABC的形狀．
（2）若a，b為方程x²+mx-3m=0的兩個根，求m的值．

Answer 1

分析：（1）因為方程有兩個相等的實數根即△=0，由△=0可以得到一個關于a，b的方程，再結合方程3cx+2b=2a的根為x=0，代入即可得到一關于a，b的方程，聯立即可得到關于a，b的方程組，可求出a，b的關系式；
（2）根據（1）求出的a，b的值，可以關于m的方程，解方程即可求出m．

解答：解：（1）∵

1

2

x²+

b

x+c-

1

2

a=0有兩個相等的實數根，
∴△=（

b

）²-4×

1

2

（c-

1

2

a）=0，
整理得a+b-2c=0 ①，
又∵3cx+2b=2a的根為x=0，
∴a=b ②，
把②代入①得a=c，
∴a=b=c，
∴△ABC為等邊三角形；
（2）a，b是方程x²+mx-3m=0的兩個根，
∴方程x²+mx-3m=0有兩個相等的實數根
∴△=m²-4×（-3m）=0，
即m²+12m=0，
∴m₁=0，m₂=-12．
當m=0時，原方程的解為x=0（不符合題意，舍去），
∴m=-12．

點評：本題主要考查了一元二次方程的判別式與方程的解得定義，是一個比較簡單的問題．