Question

已知⊙的半徑為1，以為原點，建立如圖所示的直角坐標系．有一個正方形，頂點的坐標為（，0），頂點在軸上方，頂點在⊙上運動．

（1）當點運動到與點、在一條直線上時，與⊙相切嗎？如果相切，請說明理由，并求出所在直線對應的函數表達式；如果不相切，也請說明理由；

（2）設點的橫坐標為，正方形的面積為，求出與的函數關系式，并求出的最大值和最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）CD與⊙O相切，y=（2）S，S的最大值為，S的最小值為  

【解析】（1）CD與⊙O相切。 1分

因為A、D、O在一直線上，∠ADC=90°，

所以∠COD=90°，所以CD是⊙O的切線  3分

CD與⊙O相切時，有兩種情況：①切點在第二象限時（如圖①），

設正方形ABCD的邊長為a，則a²＋（a＋1）²=13，

解得a=2，或a=-3（舍去）                                             4分

過點D作DE⊥OB于E，則Rt△ODE≌Rt△OBA，所以，所以DE=，

OE=，所以點D₁的坐標是（-，）                       5分

所以OD所在直線對應的函數表達式為y=                            6分

②切點在第四象限時（如圖②），

設正方形ABCD的邊長為b，則b²＋（b－1）²=13，

解得b=-2（舍去），或b=3                                             7分

過點D作DF⊥OB于F，則Rt△ODF∽Rt△OBA，所以，所以OF=，DF=，所以點D₂的坐標是（，-）                         8分

所以OD所在直線對應的函數表達式為y=                             9分

（2）如圖③，

過點D作DG⊥OB于G，連接BD、OD，則BD²=BG²＋DG²=（BO－OG）²＋OD²-OG²=                              10分

所以S=AB²=                                          11分

因為-1≤x≤1，所以S的最大值為，

S的最小值為                                                   12分

（1）易證CD是⊙O的切線，根據Rt△ODE∽Rt△OBA得到DE的長，再求出D₁的坐標，根據待定系數法，求出函數解析式；

（2）過點D作DG⊥OB于G，連接BD、OD，則BD²=BG²+DG²=（BO-OG）²+OD²-OG²，所以S=AB²= BD²=7+ x，因為-1≤x≤1，所以S的最大值就可以求出．