Question

18、如圖，已知⊙O的半徑為R，以⊙O上一點A為圓心，以r為半徑作⊙A，又直徑PQ與⊙A相切，切點為D，且交⊙O于P、Q．求證：AP•AQ為定值．

Answer 1

分析：由PQ為⊙O的直徑，得到∠PAQ=90°，PQ=2R，又PQ切⊙A于D，得到AD⊥PQ，AD=r，易證Rt△QAD∽Rt△QPA，所以AP•AQ=AD•PQ．
得到AP•AQ=2Rr，即可說明AP•AQ為定值．

解答：解：∵PQ為⊙O的直徑，
∴∠PAQ=90°，PQ=2R，
又∵PQ切⊙A于D，
∴AD⊥PQ，AD=r，
∴Rt△QAD∽Rt△QPA，
∴AP•AQ=AD•PQ．
∴AP•AQ=2Rr，
即AP•AQ為定值．

點評：本題考查了切線的性質：圓心與切點的連線垂直切線；過圓心垂直于切線的直線必過切點；過圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等．也考查了直徑所對的圓周角為直角以及三角形相似的判定與性質．