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(2012•昌平區一模)已知關于x的方程(k+1)x2+(3k-1)x+2k-2=0.
(1)討論此方程根的情況;
(2)若方程有兩個整數根,求正整數k的值;
(3)若拋物線y=(k+1)x2+(3k-1)x+2k-2與x軸的兩個交點之間的距離為3,求k的值.
分析:(1)分別討論k=-1和k≠-1的情況,即可判斷出方程根的情況;
(2)首先根據因式分解求出方程的兩個根,然后根據方程的根是整數根,求出k的值即可;
(3)根據拋物線y=(k+1)x2+(3k-1)x+2k-2與x軸的兩個交點之間的距離為3,分別討論x1-x2=3或x2-x1=3兩種情況,求出k的值即可.
解答:解:(1)當k=-1時,方程-4x-4=0為一元一次方程,此方程有一個實數根;
當k≠-1時,方程(k+1)x2+(3k-1)x+2k-2=0是一元二次方程,
△=(3k-1)2-4(k+1)(2k-2)=(k-3)2
∵(k-3)2≥0,即△≥0,
∴k為除-1外的任意實數時,此方程總有兩個實數根.  
綜上,無論k取任意實數,方程總有實數根.

(2)x=
1-3k±(k-3)
2(k+1)
,x1=-1,x2=
4
k+1
-2

∵方程的兩個根是整數根,且k為正整數,
∴只存在兩種情況:①當k=1時,方程的兩根為-1,0;
②當k=3時,方程的兩根為-1,-1.
∴正整數k的值是1或3.        

(3)∵拋物線y=(k+1)x2+(3k-1)x+2k-2與x軸的兩個交點之間的距離為3,
∴x1-x2=3,或x2-x1=3.
當x1-x2=3時,k=-3;
當x2-x1=3時,k=0.
綜上,k=0,-3.
點評:本題主要考查拋物線與x軸的交點問題的知識,解答本題的關鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數的關系等知識,此題難度不大.
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