Question

（2012•昌平區一模）已知關于x的方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0．
（1）討論此方程根的情況；
（2）若方程有兩個整數根，求正整數k的值；
（3）若拋物線y=（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2與x軸的兩個交點之間的距離為3，求k的值．

Answer 1

分析：（1）分別討論k=-1和k≠-1的情況，即可判斷出方程根的情況；
（2）首先根據因式分解求出方程的兩個根，然后根據方程的根是整數根，求出k的值即可；
（3）根據拋物線y=（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2與x軸的兩個交點之間的距離為3，分別討論x₁-x₂=3或x₂-x₁=3兩種情況，求出k的值即可．

解答：解：（1）當k=-1時，方程-4x-4=0為一元一次方程，此方程有一個實數根；
當k≠-1時，方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0是一元二次方程，
△=（3k-1）²-4（k+1）（2k-2）=（k-3）²．
∵（k-3）²≥0，即△≥0，
∴k為除-1外的任意實數時，此方程總有兩個實數根．  
綜上，無論k取任意實數，方程總有實數根．

（2）x=

1-3k±(k-3)

2(k+1)

，x₁=-1，x₂=

4

k+1

-2．
∵方程的兩個根是整數根，且k為正整數，
∴只存在兩種情況：①當k=1時，方程的兩根為-1，0；
②當k=3時，方程的兩根為-1，-1．
∴正整數k的值是1或3．        

（3）∵拋物線y=（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2與x軸的兩個交點之間的距離為3，
∴x₁-x₂=3，或x₂-x₁=3．
當x₁-x₂=3時，k=-3；
當x₂-x₁=3時，k=0．
綜上，k=0，-3．

點評：本題主要考查拋物線與x軸的交點問題的知識，解答本題的關鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數的關系等知識，此題難度不大．