Question

【題目】已知，，是邊上一點，延長到點，使得，連接，過點作的垂線，交的垂直平分線于點，連接．

（1）如圖1，當點與點重合時，證明：；

（2）如圖2，當點不與，兩點重合時，（1）中的結論是否還成立？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）成立，理由見解析

【解析】

（1）延長FD至點G，使得DG=DF，連接BG，AG．

先證明△ADG≌△EDF，得到AG=EF．再證明△ABG≌△DBF，得到∠ABG=∠DBF，即有∠ABG=∠DBG=∠ABC=30°，進而得到∠DBF=30°，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可得到結論．

（2）成立．延長FD至點，使得DG=DF，連接BG，AG．

通過證明△ADG≌△EDF，得到AG=EF．由垂直平分線的性質得到FC=FE，從而有AG=CF．

即可得到△ABG≌△CBF，由全等三角形對應角相等得到∠ABG=∠CBF，即有∠ABG=∠GBD．進而得出∠DBF=∠GBD=30°，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可得到結論．

延長FD至點G，使得DG=DF，連接BG，AG．

∵DF⊥BC于點 ，∴∠BDF=90°，∴BG=BF，∴∠DBF=∠DBG．

又∵AD=ED，∠ADG=∠EDF，DG=DF，∴△ADG≌△EDF（SAS），∴AG=EF．

∵點在CE的垂直平分線上，點與點重合，∴DF=EF，∴DF=AG．

∵AB=BC，∴△ABG≌△DBF（SSS），∴∠ABG=∠DBF，∴∠ABG=∠DBG=∠ABC=30°，∴∠DBF=30°，∴BG=2DG，∴BF=2DF．

（2）成立．理由如下：

延長FD至點，使得DG=DF，連接BG，AG．

∵DF⊥BC于點，∴∠BDF=90°，∴BG=BF，∴∠DBF=∠DBG．

又∵AD=ED，∠ADG=∠EDF，∴△ADG≌△EDF（SAS），∴AG=EF．

∵點在CE的垂直平分線上，∴FC=FE，∴AG=CF．

又∵AB=BC，∴△ABG≌△CBF（SSS），∴∠ABG=∠CBF，∴∠ABG=∠GBD．

又∵∠ABC=60°，∴∠GBD=30°，∴∠DBF=∠GBD=30°，∴BF=2DF．