Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD為菱形，△ABD的外接圓⊙O與CD相切于點D，交AC于點E.

(1)判斷⊙O與BC的位置關系，并說明理由；

（2）若CE=2，求⊙O的半徑r.

Answer 1

【答案】（1）相切，理由見解析；（2）2.

【解析】試題分析：（1）根據切線的性質，可得∠ODC的度數，根據菱形的性質，可得CD與BC的關系，根據SSS，可得三角形全等，根據全等三角形的性質，可得∠OBC的度數，根據切線的判定，可得答案；
（2）根據等腰三角形的性質，可得∠ACD=∠CAD，根據三角形外角的性質，∠COD=∠OAD+∠AOD，根據直角三角形的性質，可得OC與OD的關系，根據等量代換，可得答案．

（1）⊙O與BC相切，理由如下
連接OD、OB，如圖所示：

∵⊙O與CD相切于點D，
∴OD⊥CD，∠ODC=90°．
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC垂直平分BD，AD=CD=CB．
∴△ABD的外接圓⊙O的圓心O在AC上，
∵OD=OB，OC=OC，CB=CD，
∴△OBC≌△ODC．
∴∠OBC=∠ODC=90°，
又∵OB為半徑，
∴⊙O與BC相切；
（2）∵AD=CD，
∴∠ACD=∠CAD．
∵AO=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵∠COD=∠OAD+∠AOD，
∠COD=2∠CAD．
∴∠COD=2∠ACD
又∵∠COD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=30°．
∴OD= OC，
即r=（r+2）．
∴r=2．