Question

如圖，以Rt△ABC的邊AB為直徑的⊙O交斜邊AC于點D，點F為BC上一點，AF交⊙O于點E，且∠C=∠BAF．
（1）求證：DE∥AB；
（2）若⊙O的半徑為5，AE=2AD，求DE的長．

Answer 1

（1）證明：如圖1，連DB，
∵AB為直徑，
∴DB⊥AC，
∵△ABC為直角三角形，
∴∠C=∠ABD=∠DEA，
又∵∠C=∠BAF，
∴∠BAF=∠DEA，
∴DE∥AB；

（2）連BE，
∵DE∥AB，
∴∠BAE=∠AED，
∴AD=BE，
在Rt△ABD與Rt△BAE中，
∵

AB=BA AD=BE

，
∴Rt△ABD≌Rt△BAE（HL），
∴BD=AE=2AD，
設AD=x，則BD=2x，
在Rt△ABD中，x²+（2x）²=10²，
∴AD=2

5

，BD=4

5

過D作DM⊥AB，過O作ON⊥ED，
∴

1

2

AD•BD=

1

2

AB•DM，
∴DM=

AD•BD

AB

=

2 5 •4 5

10

=4=ON，
連OD，在Rt△OND中，
∵DN=

OD2-ON2

=

52-42

=3，
∴ED=2DN=6．