Question

我們運用圖（I）圖中大正方形的面積可表示為（a+b）²，也可表示為c²+4×

1

2

ab，即（a+b）²=c²+4×

1

2

ab由此推導出一個重要的結(jié)論a²+b²=c²，這個重要的結(jié)論就是著名的“勾股定理”．這種根據(jù)圖形可以極簡單地直觀推論或驗證數(shù)學規(guī)律和公式的方法，簡稱“無字證明”．
（1）請你用圖（Ⅱ）（2002年國際數(shù)字家大會會標）的面積表達式驗證勾股定理（其中四個直角三角形的較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c）．
（2）請你用（Ⅲ）提供的圖形進行組合，用組合圖形的面積表達式驗證：（x+y）²=x²+2xy+y²
（3）現(xiàn)有足夠多的邊長為x的小正方形，邊長為y的大正方形以及長為x寬為y的長方形，請你自己設(shè)計圖形的組合，用其面積表達式驗證：（x+y）（x+2y）=x²+3xy+2y²．

Answer 1

（1）大正方形的面積為：c²，中間空白部分正方形面積為：（b-a）²；
四個陰影部分直角三角形面積和為：4×

1

2

ab；
由圖形關(guān)系可知：大正方形面積=空白正方形面積+四直角三角形面積，即有：
c²=（b-a）²+4×

1

2

ab=b²-2ab+a²+2ab=a²+b²；

（2）如圖1所示：大正方形邊長為（x+y）所以面積為：（x+y）²，
它的面積也等于兩個邊長分別為x，y和兩個長為x寬為y的矩形面積之和，
即x²+2xy+y²
所以有：（x+y）²=x²+2xy+y²成立；

（3）如圖2所示：大矩形的長、寬分別為（x+y），（x+2y），則其面積為：（x+y）•（x+2y），
從圖形關(guān)系上可得大矩形為一個邊長為x的正方形以及2個邊長為y的正方形和三個小矩形構(gòu)成的則其面積又可表示為：
x²+3xy+2y²，
則有：（x+y）（x+2y）=x²+3xy+2y²．