Question

如圖，直線l₁的函數表達式為y₁=-3x+3，且l₁與x軸交于點D，直線l₂：y₂=kx+b經過點A，B，與直線l₁交于點C．
（1）求直線l₂的函數表達式，并利用圖象回答，何時y₁＞y₂；
（2）求△ADC的面積；
（3）在直角坐標系中有點E，和A，C，D構成平行四邊形，請直接寫出E點的坐標．

Answer 1

考點：一次函數綜合題

專題：

分析：（1）將A、B兩點的坐標代入直線l₂：y₂=kx+b，運用待定系數法求出直線l₂的函數表達式，觀察圖象可知，在C點的左側，直線l₁落在直線l₂的上方，即當x的值為小于點C橫坐標的值時，y₁＞y₂，將直線l₁與直線l₂的解析式聯立組成方程組，求出方程組的解，即可得出點C的坐標；
（2）先由直線l₁：y₁=-3x+3與x軸交于點D，得到點D的坐標，再根據三角形的面積公式即可求解；
（3）分三種情況進行討論：①以AC為對角線；②以AD為對角線；③以CD為對角線；根據平行四邊形的性質即可確定E點的坐標．

解答：解：（1）∵點A（4，0）、B（3，-

3

2

）在直線l₂：y₂=kx+b上，
∴

4k+b=0 3k+b=- 3 2

，
解之得：

k= 3 2 b=-6

，
∴直線l₂的解析式為y₂=

3

2

x-6；
由

y=-3x+3 y= 3 2 x-6

，解得

x=2 y=-3

，
∴點C的坐標為（2，-3）．
由圖象可知，當x＜2時，y₁＞y₂；

（2）∵點D是直線l₁：y=-3x+3與x軸的交點，
∴y=0時，0=-3x+3，
解得x=1，
∴D（1，0），
∵A（4，0），
∴AD=4-1=3，
∴△ADC的面積=

1

2

×3×3=

9

2

；

（3）分三種情況：
①以AC為對角線時，
∵四邊形ADCE是平行四邊形，
∴CE∥DA，CE=DA=3，
∴將點C（2，-3）向右平移3個單位得到點E，即E₁（5，-3）；
②以AD為對角線時，
∵四邊形ACDE是平行四邊形，
∴CE與AD互相平分，即CE與AD的中點重合，則E₂（3，3）；
③以CD為對角線時，
∵四邊形ADEC是平行四邊形，
∴CE∥AD，CE=AD=3，
∴將點C（2，-3）向左平移3個單位得到點E，即E₃（-1，-3）；
綜上所述，符合條件的E點的坐標為E₁（5，-3）、E₂（3，3）、E₃（-1，-3）．

點評：本題是一次函數的綜合題，考查了運用待定系數法求一次函數的解析式，一次函數與一元一次不等式的關系，兩直線交點坐標的求法，三角形的面積，平行四邊形的性質等知識，綜合性較強，難度不大，運用數形結合、分類討論及方程思想是解題的關鍵．