Question

如圖（14），已知 ，，現以A點為位似中心，相似比為9:4，將OB向右側放大，B點的對應點為C．

1.求C點坐標及直線BC的解析式;

2.一拋物線經過B、C兩點，且頂點落在x軸正半軸上，求該拋物線的解析式并畫出函數圖象;

3.現將直線BC繞B點旋轉與拋物線相交于另一點P，請找出拋物線上所有滿足到直線AB距離為的點P．

 

Answer 1

 

1.過C點向x軸作垂線，垂足為D，由位似圖形性質可知：

△ABO∽△ACD， ∴．

由已知，可知：．

∴．∴C點坐標為．………………2分

直線BC的解析是為：

化簡得：    ……………………………… 3分

2.設拋物線解析式為，由題意得： ，解得： ,

∴解得拋物線解析式為或．

又∵的頂點在x軸負半軸上，不合題意，故舍去．

∴滿足條件的拋物線解析式為·················· 5分

（畫出函數圖象）  7分

3.將直線BC繞B點旋轉與拋物線相交與另一點P，設P到 直線AB的距離為h，

故P點應在與直線AB平行，且相距的上下兩條平行直線和上．······ 8分

由平行線的性質可得：兩條平行直線與y軸的交點到直線BC的距離也為．

如圖，設與y軸交于E點，過E作EF⊥BC于F點，

在Rt△BEF中，，

∴．∴可以求得直線與y軸交點坐標為············· 10分

同理可求得直線與y軸交點坐標為·················· 11分

∴兩直線解析式；．

根據題意列出方程組： ⑴；⑵

∴解得：；；；

∴滿足條件的點P有四個，它們分別是，，，·· 13分

解析:（1）利用相似及相似比，可得到C的坐標．把A，B代入一次函數解析式即可求得解析式的坐標．

（2）頂點落在x軸正半軸上說明此函數解析式與x軸有一個交點，那么△=0，再把B，C兩點即可．

（3）到直線AB的距離為3 的直線有兩條，可求出這兩條直線解析式，和二次函數解析式組成方程組，求得點P坐標