Question

12．如圖，四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC，E是AB的中點，CE⊥BD．
（1）求證：BE=AD；
（2）求證：AC是線段ED的垂直平分線；
（3）△DBC是等腰三角形嗎？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件證明△DAB≌△EBC（ASA），根據全等三角形的對應邊相等即可得到AD=BE；
（2）分別證明AD=AE，CE=CE，根據線段垂直平分線的逆定理即可解答；
（3）△DBC是等腰三角形，由△DAB≌△EBC，得到DB=EC，又有△AEC≌△ADC，得到EC=DC，所以DB=DC，即可解答．

解答 解：（1）∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠DBC=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠BCE+∠DBC=90°，
∴∠ABD=∠BCE，
∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠EBC，
在△DAB和△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠BCE}\\{AB=BC}\\{∠DAB=∠EBC}\end{array}\right.$
∴△DAB≌△EBC（ASA）
∴AD=BE
（2）∵E是AB的中點，即AE=BE，
∵BE=AD，
∴AE=AD，
∴點A在ED的垂直平分線上（到角兩邊相等的點在角的平分線上），
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAC=∠DAC=45°，
在△EAC和△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAC=∠DAC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△DAC（SAS）
∴CE=CD，
∴點C在ED的垂直平分線上
∴AC是線段ED的垂直平分線．
（3）△DBC是等腰三角形
∵△DAB≌△EBC，
∴DB=EC
∵△AEC≌△ADC，
∴EC=DC，
∴DB=DC，
∴△DBC是等腰三角形．

點評 本題考查了全等三角形的性質定理與判定定理，解決本題的關鍵是證明三角形全等．