Question

【題目】如圖1，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸從左到右交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為D

（1）求直線AC的解析式與點D的坐標；

（2）在直線AC上方的拋物線上有一點E，作EF∥x軸，與拋物線交于點F，作EM⊥x軸于M，作FN⊥x軸于N，長度為2的線段PQ在直線AC上運動（點P在點Q右側），當四邊形EMNF的周長取最大值求四邊形DPQE的周長的最小值及對應的點Q的坐標；

（3）如圖2，平移拋物線，使拋物線的頂點D在直線AD上移動，點D平移后的對應點為D′，點A平移后的對應點為A′，△A′D′C是否能為直角三角形？若能，請求出對應的線段D′C的長；若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）直線AC的解析式為：，；（2）四邊形DPQE的周長的最小值是，對應的點Q的坐標為；（3）=或或3.

【解析】

(1)拋物線與x軸從左到右交于A、B兩點，只要令y=0，即可求出A、B兩點；與y軸交于點C，只要令x=0，即可求出點C；由點A、C的坐標可得直線AC的解析；D的坐標用頂點公式或者先求出對稱軸代入解析式，即可求出；

(2)作點E關于直線AC的對稱點E'(0,1)，將點E'沿AC方向平移個單位得到E″(2,3)，連接E″D交直線AC于點P，將點P向下平移個單位得到Q，則點Q為所求點即可求解，再根據個點坐標求出四邊形的邊長，進而計算周長；

(3)分A'D'是斜邊、A'C是斜邊、CD'是斜邊三種情況，分別求解即可．

解：(1)∵拋物線與x軸從左到右交于A、B兩點，

∴令y=0，即，解得：，則

∵拋物線與y軸交于點C，

∴

由點A、C的坐標得，直線AC的解析式為：；

∵D是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸為：，

∴；

(2)設點，

∵拋物線的對稱軸為：，軸，

∴

四邊形的周長，

當時，最大，此時點；

∵，；

∴；

∵且P、Q在上

∴P、Q兩點橫縱坐標差為2，

作點關于直線的對稱點，將點沿方向平移個單位得到，

由點坐標得，直線的解析式為：；

聯立直線AC、直線的解析式并解得：，故點，

將點沿著直線CA向左向下平移個單位得到點；

∵，，，；

∴，；

此時四邊形的周長最小

；

(3)由待定系數法求得直線AD的解析式為：，則設拋物線向右平移m個單位，則向上平移2m個單位，

∴、，，

而點，

∴；

①當是斜邊時，如圖2，

分別過點、作y軸的垂線交于點N、M，則，
則，即，
解得：(舍去)或；
②當是斜邊時，如圖3，
過點作x軸的平行線交y軸于點N，交過點作y軸的平行線于點M，

同理可得：，則，
即，解得：；
③當是斜邊時，

同理可得：，解得：，

故或1或 1

則=或或3．