Question

如圖所示，△ABC的∠BAC=120°，以BC為邊向形外作等邊△BCD，把△ABD繞著D點按順時針方向旋轉60°到△ECD的位置，若AB=3，AC=2，求∠BAD的度數和線段AD的長．

Answer 1

【答案】分析：根據∠BAC+∠BDC=180°得出A、B、D、C四點共圓，根據四點共圓的性質得出∠BAD=∠BCD=60°．推出A，C，E共線；由于∠ADE=60°，根據旋轉得出AB=CE=3，求出AE即可．
解答：解：法1：∵△ABC的∠BAC=120°，以BC為邊向形外作等邊△BCD，
∴∠BAC+∠BDC=120°+60°=180°，
∴A，B，D，C四點共圓，
∴∠BAD=∠BCD=60°，∠ACD+∠ABD=180°，
又∵∠ABD=∠ECD，
∴∠ACD+∠ECD=180°，
∴∠ACE=180°，
即A、C、E共線，
∵把△ABD繞著D點按順時針方向旋轉60°到△ECD的位置，AB=3，
∴AB=CE=3，
∴AD=AE=AC+AB=3+2=5；
法2：∵△ABC的∠BAC=120°，以BC為邊向形外作等邊△BCD，
∴∠BAC+∠BDC=120°+60°=180°，
∴四邊形ABCD，
∴∠BAD=∠BCD=60°，∠ACD+∠ABD=180°，
又∵∠ABD=∠ECD，
∴∠ACD+∠ECD=180°，
∴∠ACE=180°，
即A、C、E共線，
∵把△ABD繞著D點按順時針方向旋轉60°到△ECD的位置，AB=3，
∴AB=CE=3，
∴AD=AE=AC+AB=3+2=5．
點評：本題利用了：①等邊三角形的性質，三角為60度，三邊相等；②四邊形內角和為360度；③一個角的度數為180度，則三點共線；④角的和差關系求解．