Question

【題目】閱讀下列各題并按要求完成：

（1）定義：若兩個一元二次方程有一個相同的實數根，則稱這兩個方程為“友好方程”，已知關于x的一元二次方程 x 2x 0 與 x 3x m 1 0 為“友好方程”，求 m 的值；

（2）關于x的一元二次方程 有兩個不相等的實數根,,且二次根式有意義，若T=，求T的取值范圍;

（3）我們不妨約定方程的整數解稱之為“硬核”，例如x=1就稱為方程(x-1)(2x+1)=0 的一個“硬核”，若一元二次方程(k-3k+2)x+(2k-4k+1)x+k-k=0（k為常數）有兩個不同的“硬核”，試確定方程的兩個“硬核”及常數 k 的值.

Answer 1

【答案】（1）9或1；（2）；（3）方程的兩個“硬核”為3和1，k＝.

【解析】

（1）首先解第一個方程，然后利用友好方程的定義代入第二個方程求得m的值即可；

（2）首先根據一元二次方程有兩個不相等的實數根和二次根式有意義的條件，得到關于m的不等式，求出m的取值范圍，然后對T進行化簡，代入x1+x2=4-2m，x1x2= m2-3m+3，可得，最后由m的取值范圍可得T的取值范圍；

（3）由方程為一元二次方程即可得出k-3k+2≠0，解之可得出k≠1且k≠2，利用因式分解法解一元二次方程可得出x1＝，x2＝，由方程的兩根均為整數可設，（其中m、n均是不為1的整數），分析得出k≠0，n≠0，解分式方程用含m、n的代數式表示出k值，得到m＝2，結合m、n均為整數即可求出n＝1，然后易求m與k值，此題得解．

解：（1）解x22x＝0得：x＝0或x＝2，

∵關于x的一元二次方程x22x＝0與x2＋3x＋m1＝0為“友好方程”，

∴22＋3×2＋m1＝0或02＋3×0＋m1＝0，

解得：m＝9或m＝1，

∴m的值為9或1；

（2）∵關于x的一元二次方程 有兩個不相等的實數根，

∴△=[2(m-2)]2-4(m2-3m+3)＞0，x1+x2=4-2m，x1x2= m2-3m+3，

∵二次根式有意義，

∴m+1≥0,

∴-1≤m＜1，

∴T=

，

∴，即;

（3）∵方程(k-3k+2)x+(2k-4k+1)x+k-k=0為一元二次方程，

∴k-3k+2＝（k1）（k2）≠0，

∴k≠1且k≠2．

∵(k-3k+2)x+(2k-4k+1)x+k-k＝[（k1）x＋k][（k2）x＋k1]＝0，

∴x1＝，x2＝，

∵一元二次方程(k-3k+2)x+(2k-4k+1)x+k-k=0有兩個不相等的整數解，

∴設，（其中m、n均是不為1的整數），

∵當k＝0時，x1＝0，x2＝，

∴k≠0，

∵k≠1，

∴n≠0．

∴k＝＝，

∴m＝2．

∵m為整數，n為整數，

∴n＝1或n＝1（舍去）．

∴，m=2=3，

解得：k＝．

即方程的兩個“硬核”為3和1，k＝.