Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠ADB＝30°，E為BC邊上一點，∠AEB＝45°，CF⊥BD于F．下列結論：①BE＝CD，②BF＝3DF，③AE＝AO，④CE＝CF．正確的結論有（　　）

A. ①②B. ②③C. ①②④D. ①②③

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據矩形的性質，由∠ADB=30°可得，△AOB和△COD都是等邊三角形，再由∠AEB=45°，可得△ABE是等腰直角三角形，其邊有特殊的關系，利用等量代換可以得出③AE=AO是正確的，①BE=CD是正確的，在正△COD中，CF⊥BD，可得DF=CD，再利用等量代換可得②BF=3DF是正確的，利用選項的排除法確定選項D是正確的．

解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AC=BD，AO=CO=BO=DO，∠ABC=∠ADC=∠BAD=∠BCD=90°，
∵∠AEB=45°，
∴∠BAE=∠AEB=45°
∴AB=BE=CD，AE=AB=CD，
故①正確，
∵∠ADB=30°，
∴∠ABO=60°且AO=BO，
∴△ABO是等邊三角形，
∴AB=AO，
∴AE=AO，
故③正確，
∵△OCD是等邊三角形，CF⊥BD，
∴DF=FO=OD=CD=BD，
∴BF=3DF，
故②正確，
根據排除法，可得選項D正確，
故選：D．