Question

（1997•山東）一個圓的內接正六邊形與外切正六邊形的面積之比為

3：4

．

Answer 1

分析：經過圓心O作圓的內接正n邊形的一邊AB的垂線OC，垂足是C．連接OA，則在直角△OAC中，∠AOC=

1

2

×

180°

n

=30°．OC是邊心距a，OA即半徑

2 3

3

a，進而得出面積之比．

解答：解：設圓的半徑為a．
經過圓心O作圓的內接正n邊形的一邊AB的垂線OC，垂足是C．連接OA，
∵在直角△OAC中，∠AOC=

1

2

×

180°

n

=30°，
∴外切正6邊形的邊心距OC等于a，邊長=2OCtan30°=

2 3

3

a，
內接正六邊形的邊長=a，邊心距等于

3

2

a，
∴外切正六邊形與內接正六邊形的面積之比為：6×

3

2

a²：6×

2 3

3

a²=3：4．
故答案為：3：4．

點評：此題主要考查了正多邊形和圓，解決本題的關鍵是構造相應的直角三角形，得到分割的三角形的底邊和高，進而求解．