Question

(本題10分) 
已知一次函數y＝的圖象與x軸交于點A．與軸交于點；二次函數圖象與一次函數y＝的圖象交于、兩點，與軸交于、兩點且的坐標為

（1）求二次函數的解析式；
（2）在軸上是否存在點P，使得△是直角三角形？若存在，求出所有的點，若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）
（2）滿足條件的點P有四個，分別是(1,0)(3,0)(0.5,0) (5.5,0)

解：（1）∵ 由題意知:當x=0時,y="1," ∴B（0，1）, …………1分
由點的坐標為當x=1時, y=0
∴解得,…………3分
所以     …………4分
（2）存在；設P(a,0),

①P為直角頂點時,如圖,過C作CF⊥x軸于F, ∵Rt△BOP∽Rt△PFC,
由題意得，AD＝6，OD＝1，易知，AD∥BE，
∴．即,                …………5分
整理得:a2－4a+3=0,解得a=1或a="3, "  此時所求P點坐標為(1,0)或(3,0). …………7分
②若B為直角頂點，則有PB²+BC²=PC²既有   1²+a²+4²+2²=3²+(4-a) ²
解得  a=0.5此時所求P點坐標為(0.5,0)    ……8分
③若C為直角頂點，則有PC²+BC²=PB²既有  3²+(4-a) ² +4²+2²=1²+a²
解得  a=5.5此時所求P點坐標為(5.5,0)    ……9分
綜上所述，滿足條件的點P有四個，分別是(1,0)(3,0)(0.5,0) (5.5,0)。……10分