Question

（12分）
有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養，最多只能存活兩天.如果放養在塘內，可以延長存活時間，但每天也有一定數量的蟹死去.假設放養期內蟹的個體質量基本保持不變，現有一經銷商，按市場價收購這種活蟹1000 kg放養在塘內，此時市場價為每千克30元，據測算，此后每千克活蟹的市場價每天可上升1元，但是，放養一天需支出各種費用為400元，且平均每天還有10 kg蟹死去，假定死蟹均于當天全部銷售出，售價都是每千克20元.
(1)設x天后每千克活蟹的市場價為p元，寫出p關于x的函數關系式;
(2)如果放養x天后將活蟹一次性出售，并記1000 kg蟹的銷售總額為Q元，寫出Q關于x的函數關系式.
(3)該經銷商將這批蟹放養多少天后出售，可獲最大利潤(利潤=Q－收購總額)？

Answer 1

（1）p=30+x
（2）當x=25時，總利潤最大，最大利潤為6250元

(1)由題意知：p=30+x,
(2)由題意知
活蟹的銷售額為(1000－10x)(30+x)元,
死蟹的銷售額為200x元.
∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x2+900x+30000.
(3)設總利潤為
L=Q－30000－400x=－10x2+500x
=－10(x2－50x) =－10(x－25)2+6250.
當x=25時，總利潤最大，最大利潤為6250元.