Question

已知△ABC是⊙O的內接三角形，BT為⊙O的切線，B為切點，P為直線AB上一點，過點P作BC的平行線交直線BT于E，交直線AC于點F．
（1）當點P在線段AB上時，（如圖1）求證：PA•PB=PE•PF．
（2）在圖2中畫出當點P在線段AB的延長線上時，（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請證明，如果不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲證 PA•PB=PE•PF，即證

PA

PE

=

PF

PB

．證明線段所在的△PAF與△PEB相似即可．根據弦切角定理有∠PBE=∠C；根據平行線的性質得∠C=∠PFA．所以∠PBE=∠PFA．運用“有兩角對應相等的兩個三角形相似”得證；
 （2）根據題意作圖，仿（1）證明．

解答：（1）證明：∵BT為切線，BA為弦．
∴∠ABE=∠C，∠APF=∠EPB．
又∵EF∥BC，
∴∠C=∠AFP，∴∠ABE=∠AFP．
∴△APF∽△EPB，
∴

PA

PE

=

PF

PB

，
即PA•PB=PE•PF．

（2）

結論仍然成立．
證明：∵BT為切線，BC為弦，
∴∠CBE=∠A．
∵PF∥BC，
∴∠CBE=∠PEB．
∴∠PEB=∠A．
又∠EPB=∠APF，
∴△APF∽△EPB，
∴

PA

PE

=

PF

PB

，
即PA•PB=PE•PF．

點評：此題考查弦切角定理和相似三角形的判定與性質，難度中等．證明等積式常變形為比例式，轉證線段所在的三角形相似．