Question

如圖①，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，AE⊥BC，垂足為E，CF∥AD．
（1）如圖①，∠B=30°，∠ACB=70°，則∠CFE=

 

；
（2）若（1）中的∠B=α，∠ACB=β，則∠CFE=

 

；（用α、β表示）
（3）如圖②，（2）中的結(jié)論還成立么？請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）求∠CFE的度數(shù)，求出∠DAE的度數(shù)即可，只要求出∠BAE-∠BAD的度數(shù)，由平分和垂直易得∠BAE和∠BAD的度數(shù)即可；
（2）由（1）類推得出答案即可；
（3）類比以上思路，把問題轉(zhuǎn)換為∠CFE=90°-∠ECF解決問題．

解答： 解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°
∴∠BAE=60°
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=60°-40°=20°，
∵CF∥AD，
∴∠CFE=∠DAE=20°，
（2）∵∠BAE=90°-∠B，∠BAD=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-∠B-∠BCA）
∴∠CFE=∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-∠B-

1

2

（180°-∠B-∠BCA）=

1

2

（∠BCA-∠B）=

1

2

β-

1

2

α．
（3）成立．      
∵∠B=α，∠ACB=β，
∴∠BAC=180°-α-β，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=

1

2

∠BAC=90°-

1

2

α-

1

2

β，
∵CF∥AD，
∴∠ACF=∠DAC=90°-

1

2

α-

1

2

β，
∴∠BCF=β+90°-

1

2

α-

1

2

β=90°-

1

2

α+

1

2

β，
∴∠ECF=180°-∠BCF=90°+

1

2

α-

1

2

β，
∵AE⊥BC，
∴∠FEC=90°，
∴∠CFE=90°-∠ECF=

1

2

β-

1

2

α．

點(diǎn)評：此題考查三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及垂直的意義等知識，結(jié)合圖形，靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題．