Question

已知多項式2x⁴-3x³+ax²+7x+b能被x²+x-2整除，則的值是________．

Answer 1

-2
分析：由于x²+x-2=（x+2）（x-1），而多項式2x⁴-3x³+ax²+7x+b能被x²+x-2整除，則2x⁴-3x³+ax²+7x+b能被（x+2）（x-1）整除．運用待定系數(shù)法，可設(shè)商是A，則2x⁴-3x³+ax²+7x+b=A（x+2）（x-1），則x=-2和x=1時，2x⁴-3x³+ax²+7x+b=0，分別代入，得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，解此方程組，求出a、b的值，進而得到的值．
解答：∵x²+x-2=（x+2）（x-1），
∴2x⁴-3x³+ax²+7x+b能被（x+2）（x-1）整除，
設(shè)商是A．
則2x⁴-3x³+ax²+7x+b=A（x+2）（x-1），
則x=-2和x=1時，右邊都等于0，所以左邊也等于0．
當x=-2時，2x⁴-3x³+ax²+7x+b=32+24+4a-14+b=4a+b+42=0 ①
當x=1時，2x⁴-3x³+ax²+7x+b=2-3+a+7+b=a+b+6=0 ②
①-②，得
3a+36=0，
∴a=-12，
∴b=-6-a=6．
∴==-2．
故答案為-2．
點評：本題主要考查了待定系數(shù)法在因式分解中的應(yīng)用．在因式分解時，一些多項式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數(shù)．由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據(jù)多項式恒等的性質(zhì)，兩邊對應(yīng)項系數(shù)應(yīng)該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程（或方程組），解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法．本題關(guān)鍵是能夠通過分析得出x=-2和x=1時，原多項式的值均為0，從而求出a、b的值．本題屬于競賽題型，有一定難度．