Question

10、已知方程2x⁴+mx²+8=0的四個根均為整數，則m=

-10

，多項式2x⁴+mx²+8可分解為

2（x+1）（x-1）（x+2）（x-2）

．

Answer 1

分析：①先把原方程化為一元二次方程，然后根據根與系數的關系求的兩根之積，再根據該二次方程的未知數的取值范圍來求m的值；
②利用①的結果，對多項式2x⁴+mx²+8利用平方差公式進行分解．

解答：解：令x²=t，則t≥0，且為平方數，
∴2t²+mt+8=0，
∴t₁•t₂=4，
∴t₁=1，t₂=4，
①當t₁=1時，2×1+m+8=0，解得m=-10；
②當t₂=4時，2×16+4m+8=0，解得m=-10；
綜合①②知，m=-10；
∴2x⁴+mx²+8
=2x⁴-10x²+8
=2（x⁴-5x²+4）
=2（x²-1）（x²-4）
=2（x+1）（x-1）（x+2）（x-2）；
故答案為：-10；2（x+1）（x-1）（x+2）（x-2）．

點評：本題主要考查了一元二次方程的整數根與有理根的知識點，在解答此題時，利用了一元二次方程的根與系數的關系．