Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分別過點B、C兩點作過點A的直線的垂線，垂足為M、N.

（1）如圖1，當M、N兩點在直線BC的同側時，求證：BM+CN＝MN；

（2）如圖2，當M、N兩點在直線BC的兩側時，BM、CN、MN三條線段的數量關系并證明．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）由垂線的定義和角的互余關系得出∠AMB＝∠CNA＝90°，∠ABM＝∠CAN，由AAS證明△ABM≌△CAN，得出對應邊相等BM＝AN，AM＝CN，由AN+AM＝MN，即可得出結論；

（2）由垂線的定義和角的互余關系得出∠AMB＝∠CNA＝90°，∠ABM＝∠CAN，由AAS證明△ABM≌△CAN，得出對應邊相等BM＝AN，AM＝CN，由AN+MN＝AM，即可得出結論．

（1）證明：∵∠BAC＝90°，

∴∠BAM+∠CAN＝90°，

∵BM⊥l，BN⊥l，

∴∠AMB＝∠CNA＝90°，

∴∠BAM+∠ABM＝90°，

∴∠ABM＝∠CAN，

在△ABM和△CAN中，

∴△ABM≌△CAN（AAS），

∴BM＝AN，AM＝CN，

∵AN+AM＝MN，

∴BM+CN＝MN；

（2）解：BM+MN＝CN；理由如下：

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAM+∠CAN＝90°，

∵BM⊥l，BN⊥l，

∴∠AMB＝∠BNA＝90°，

∴∠BAM+∠ABM＝90°，

∴∠ABM＝∠CAN，

在△ABM和△CAN中，，

∴△ABM≌△CAN（AAS），

∴BM＝AN，AM＝CN，

∵AN+MN＝AM，

∴BM+MN＝CN．