Question

【題目】如圖1，BC⊥AF于點C，∠A+∠1＝90°．

（1）求證：AB∥DE；

（2）如圖2，點P從點A出發，沿線段AF運動到點F停止，連接PB，PE．則∠ABP，∠DEP，∠BPE三個角之間具有怎樣的數量關系（不考慮點P與點A，D，C重合的情況）？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）由BC⊥AF可得∠A+∠B=90°，又因為∠A+∠1=90°，根據同角的余角相等可證∠B=∠1，從而AB∥DE．

（2）分①點P在A，D之間時，②當點P在C，D之間時，③點P在C，F之間時三種情況，分別過P作PG∥AB，根據平行線的性質求解即可.

（1）如圖1，∵BC⊥AF于點C，

∴∠A+∠B=90°，

又∵∠A+∠1=90°，

∴∠B=∠1，

∴AB∥DE．

（2）如圖2，當點P在A，D之間時，過P作PG∥AB，

∵AB∥DE，

∴PG∥DE，

∴∠ABP=∠GPB，∠DEP=∠GPE，

∴∠BPE=∠BPG+∠EPG=∠ABP+∠DEP；

如圖所示，當點P在C，D之間時，過P作PG∥AB，

∵AB∥DE，

∴PG∥DE，

∴∠ABP=∠GPB，∠DEP=∠GPE，

∴∠BPE=∠BPG﹣∠EPG=∠ABP﹣∠DEP；

如圖所示，當點P在C，F之間時，過P作PG∥AB，

∵AB∥DE，

∴PG∥DE，

∴∠ABP=∠GPB，∠DEP=∠GPE，

∴∠BPE=∠EPG﹣∠BPG=∠DEP﹣∠ABP．