Question

已知：如圖①，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對角線（不含點）上任意一點，將繞點逆時針旋轉得到，連接、、。

（I）求證：
（II）①當點在何處時，的值最小；
②當點在何處時，的值最小，并說明理由；

（III）當的最小值為時，求正方形的邊長。

Answer 1

（1）略（2）當在中點時，值最小（3）

解：（1）∵△ABE是等邊三角形， ∴BA=BE，∠ABE=60°， ∵∠MBN=60°， ∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN， 即∠BMA=∠NBE， 又∵MB=NB， ∴△AMB≌△ENB（SAS）；
（2）①當M點落在BD的中點時，AM+CM的值最小； ②如圖，連接CE，當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小， 理由如下：連接MN， 由（1）知，△AMB≌△ENB， ∴AM=EN， ∵∠MBN=60°，MB=NB， ∴△BMN是等邊三角形， ∴BM=MN， ∴AM+BM+CM=EN+MN+CM， 根據“兩點之間線段最短”，得EN+MN+CM=EC最短 ∴當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長；
（3）過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F， ∴∠EBF=90°-60°=30°， 設正方形的邊長為x，則BF=x，EF=， 在Rt△EFC中， ∵EF2+FC2=EC2， ∴（）2+（x+x）2=， 解得，x=（舍去負值）， ∴正方形的邊長為。