Question

（1）如圖1，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且B、C、D三點共線，聯結AD、BE相交于點P，求證：BE=AD．
（2）如圖2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分別以BC、CD和BD為邊在△BCD外部作等邊三角形ABC、等邊三角形CDE和等邊三角形BDF，聯結AD、BE和CF交于點P，下列結論中正確的是______（只填序號即可）
①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；
（3）如圖2，在（2）的條件下，求證：PB+PC+PD=BE．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等邊三角形的性質得出BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，求出∠BCE=∠ACD，證出△BCE≌△ACD即可；
（2）求出BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∠BCE=∠ACD，證△BCE≌△ACD，推出BE=AD，∠BEC=∠ADC，同理△FDC≌△BDE，推出BE=CF，BE=AD=CF，根據△BCE≌△ACD推出∠CEP=∠CDA，求出∠DEP+∠CEP=∠CED=60°=∠CDP+∠DEP，即可求出∠DPE=60°，同理求出∠EPC=∠CPA=60°；
（3）在PE上截取PM=PC，聯結CM，求出∠1=∠2，求出△CPM是等邊三角形，推出CP=CM，∠PMC=60°，證△CPD≌△CME，推出PD=ME即可．
解答：（1）證明：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCE=∠ACD，
∵在△BCE和△ACD中

∴△BCE≌△ACD（SAS）
∴BE=AD；

（2）解：①②③都正確，
理由是：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中

∴△BCE≌△ACD（SAS）
∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，∴②正確；
同理△FDC≌△BDE，
∴BE=CF，
∴BE=AD=CF，∴①正確；
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CEP=∠CDA，
∵∠CED=∠CDE=60°，
∴∠DEP+∠CEP=∠CED=60°=∠CDP+∠DEP，
∴∠DPE=180°-60°-60°=60°，
同理∠EPC=∠CPA=60°，即∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°，∴③正確；
故答案為：①②③；

（3）證明：在PE上截取PM=PC，連接CM，

由（1）可知，△BCE≌△ACD（SAS）
∴∠1=∠2
設CD與BE交于點G，在△CGE和△PGD中，
∵∠1=∠2，∠CGE=∠PGD，
∴∠DPG=∠ECG=60°，
同理∠CPE=60°，
∴△CPM是等邊三角形，
∴CP=CM，∠PMC=60°．
∴∠CPD=∠CME=120°．
∵∠1=∠2，
∴△CPD≌△CME（AAS），
∴PD=ME，
∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD，
即PB+PC+PD=BE．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，等邊三角形的性質和判定的應用，注意：全等三角形的對應邊相等，題目比較好，有一定的難度．