Question

如圖，面積為a

b

-c的正方形DEFG內接于面積為1的正三角形ABC，其中a，b，c為整數，且b不能被任何質數的平方整除，則

a-c

b

的值等于

 

．

Answer 1

分析：可先設正方形DEFG的邊長為x，正三角形ABC的邊長為m，由正三角形的邊長與角的關系以及面積的關系，可得m2=

4

3

，再由△ADG∽△ABC，得出x與m之間的關系，再由題意a，b，c為整數，且b不能被任何質數的平方整除可得a、b、c的值，進而可得出結論．

解答：解：設正方形DEFG的邊長為x，正三角形ABC的邊長為m，則m2=

4

3

，
由△ADG∽△ABC，可得

x

m

=

3 2 m-x

3 2 m

，
解得x=(2

3

-3)m，
于是x2=(2

3

-3)2m2=28

3

-48，
由題意，a=28，b=3，c=48，
所以

a-c

b

=-

20

3

．
故答案為：-

20

3

．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質以及正三角形、正方形的性質問題，能夠利用其性質求解一些簡單的計算問題．