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已知點A、B分別是x軸、y軸上的動點,點C、D是某函數圖象上的點,當四邊形ABCD(A、B、C、D各點依次排列)為正方形時,稱這個正方形為此函數圖象的伴侶正方形.如圖,正方形ABCD是反比例函數y=圖象上的其中一個伴侶正方形.則這個伴侶正方形的邊長是   
【答案】分析:過C作CF垂直于y軸,過D作DE垂直于x軸,利用垂直的定義得到三個角為直角,再由正方形的性質得到四條邊相等,四個角為直角,利用同角的余角相等得到三個角相等,利用AAS得出△BFC≌△AOB≌△DAE,利用全等三角形的對應邊相等得到FC=OB=AE,FB=OA=DE,再由C、D都在反比例函數y=圖象上,故設C(a,),D(b,),由OA=OE-AE列出關系式,再由OF=FB+OB列出另一個關系式,聯立兩關系式求出a與b的值,確定出CF與FB的長,在直角三角形FCB中,利用勾股定理求出BC的長,即為正方形ABCD的邊長.
解答:解:過C作CF⊥y軸,交y軸于點F,過D作DE⊥x軸,交x軸于點E,
∴∠CFB=∠DEA=∠AOB=90°,
∴∠FCB+∠FBC=90°,∠BAO+∠ABO=90°,
∵四邊形ABCD為正方形,
∴CB=AB=AD,∠CBA=∠BAD=90°,
∴∠FBC+∠ABO=90°,∠BAO+∠DAE=90°,
∴∠FCB=∠ABO=∠DAE,
∴△BFC≌△AOB≌△DAE,
∴FC=OB=AE,FB=OA=DE,
由C、D都在反比例函數y=圖象上,故設C(a,),D(b,),
∴FC=OB=AE=a,FB=OA=DE=
又FB=DE=OA=OE-AE=b-a,
=b-a,即b2-ab=2①,
又OF=FB+OB=
∴b-a+a=,即ab=2②,
②代入①得:b2=4,
解得:b=2,
將b=2代入②得:a=1,
∴CF=1,FB=b-a=1,
在Rt△BCF中,根據勾股定理得:BC==
則這個伴侶正方形的邊長為
故答案為:
點評:此題屬于一次函數綜合題,同時又屬于新定義題,比較復雜,先要正確理解伴侶正方形的意義,特別要注意的是正方形的頂點所處的位置,因為涉及到相關點的坐標,所以過某一點作坐標軸的垂線是必不可少的,再利用正方形的性質和全等三角形的知識確定相關點的坐標即可求解.
練習冊系列答案
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已知點A,B分別是兩條平行線m,n上任意兩點,C是直線n上一點,且∠ABC=90°,點E在AC的延長線上,BC=kAB (k≠0).
(1)當k=1時,在圖(1)中,作∠BEF=∠ABC,EF交直線m于點F.寫出線段EF與EB的數量關系,并加以證明;
(2)若k≠1,如圖(2),∠BEF=∠ABC,其它條件不變,探究線段EF與EB的數量關系,并說明理由.

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(2007•中山區二模)已知點M、N分別是平行四邊形ABCD的邊AB、DC的中點,求證:AN=CN(要求寫出證明過程中的重要依據)

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(2013•金山區二模)如圖,已知點D,E分別是邊AC和AB的中點,設
BO
=
a
OC
=
b
,那么
ED
=
a
+
b
2
a
+
b
2
(用
a
b
來表示)

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科目:初中數學 來源: 題型:

已知點A、B分別是x軸、y軸上的動點,點C、D是某函數圖象上的點,當四邊形ABCD(A、B、C、D各點依次排列)為正方形時,稱這個正方形為此函數圖象的伴侶正方形.如圖,正方形ABCD是反比例函數y=
2
x
圖象上的其中一個伴侶正方形.則這個伴侶正方形的邊長是
2
2

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科目:初中數學 來源: 題型:

已知點A、B分別是x軸、y軸上的動點,點C、D是某個函數圖象上的點,當四邊形ABCD(A、B、C、D各點依次排列)為正方形時,稱這個正方形為此函數圖象的伴侶正方形.例如:如圖1,正方形ABCD是某一次函數y=kx+b(k>0)圖象的其中一個伴侶正方形.若點D(2,m)(m<2)在反比例函數y=
kx
(k>0)
圖象上,那么是否存在點C構成該反比例函數圖象的伴侶正方形ABCD呢?
(填“是”或“否”),若存在,則猜想C點坐標為
(2-m,2)
(2-m,2)
.并求出m的值;若不存在,請說明理由.

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